TEORÍA VECTORIAL DE CAMPOS

 

 

 

CAMPO ESCALAR:

                              Una función   U(x,y,z)  que hace corresponder a cada punto  del espacio un determinado valor, recibe el nombre de función escalar. Llamamos a una tal distribución de valores en el espacio  Campo escalar.

 

                          Uniendo los puntos con el mismo valor de la función, es decir, en los que  U(x,y,z) =k   (constante), obtenemos una superficie, llamada superficie de nivel,  ó  superficie  equipotencial   del campo escalar

 

 

 

CAMPO VECTORIAL:

                      Una función    V(x,y,z)  que hace  corresponder a cada punto del espacio un vector  , recibe el nombre de  función vectorial. Llamamos a una tal distribución de vectores en el espacio  Campo vectorial

 

                                                                                                       

                                                                        P                                

                                                   P                                                P

                                                                                                                P

                      P                                                                       

 

 

CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL:

                                                            

                                                         

                                              P

* 

 

 


                                                           Llamamos circulación de un campo vectorial  V(x, y , z),  a lo largo de una curva

Y la formulamos en la forma,

 

                                                   C =            ,

                                                                                                con  V(x. y, z)  ,  campo vectorial  /    (tal que: )

 

                     V(x,y,z) = X(x,y,z)· Y(x,y,z)· +  Z(x,y,z)·  ,, siendo a su vez  ,  el elemento genérico  de la curva (x,y,z)

Y que podremos  poner como 

                                                             , y en definitiva la expresión de la Circulación como:

 

                        

                                                                                Y, por lo tanto:

                                                                                                       

 

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR:

 

                        Aplicando el operador  

                                                                          , 

 

                                                                        a la  función  U(x,y,z), obtenemos obviamente para cada punto del espacio un vector . A dicho operador le llamamos gradiente, por lo que el gradiente de una  función escalar, es una función vectorial, que conduce de un Campo escalar, a un Campo vectorial, es decir

 

                                               Gradiente de U(x,y,z)                                             gradU(x,y,z)

 

                                     A la función escalar U(x,y,z) de la que deriva, el campo vectorial,     le llamamos función potencial de dicho campo vectorial, y es obvio el camino a recorrer, lo mismo para obtener el campo vectorial  gradU(x,y,z) , de un campo escalar determinado,  como  el contrario, es decir, la función  potencial  de un campo vectorial,  cuando dicha función potencial, existe, que igualmente resulta evidente que en el caso del campo vectorial  gradiente, existe siempre.

 

                                     Aquellos campos vectoriales, para los cuales  existe  la función  potencial, se denominan  Campos conservativos, al ser claramente la circulación del campo vectorial, entre dos puntos cualesquiera, independiente del camino seguido entre ellos, y quedar tan solo dicha circulación, en función de los puntos inicial y final del recorrido, y de forma nítida, quedar dicha circulación  únicamente igual  a la variación escalar de U(x,y,z) entre los tales puntos:

 

                                  ,,,                                    

       

                                     Campos no conservativos, serán por lo tanto, aquellos para los cuales la circulación entre dos puntos, pueda tener distinto valor según la trayectoria seguida entre ellos, y que por lo tanto “carecen de función potencial”

 

 

 

 

Ejercicio a modo didactico: (Para hacer el recorrido en los dos sentidos) è

 

                    a) Hallar el gradiente de la función  U(x,y,z) =  4xyz + 6y+2zy

 

 

 

                    è    = 

 

                                                    èi + () j + () k

 

 

 

b)      Hallar la función potencial  del campo vectorial  

 

               Obviamente, En función de su origen, nos encontraremos  con        ,

 

 y  por lo tanto

 

                         Con    

                                                            , 

 

 

                                       :: es decir                               

 

 Ahora bien, también en función de su  origen, tendremos  que:

                                                                                            , y esto a su vez igual a

                                                                                                                  

 

                                    Tendremos, pues:   

                                                                   ,

 

                                                                                                                                lo que nos conduce al despejar, a 

                                                                                       

 

 

            Y como consecuencia de ello a ,

                                                                                                             ,

 

 nos encontraremos con:

                                                                         y,por lo tanto lo que era inicialmente,

 

                                      ,, podremos ponerlo hasta aquí: 

 

                                     y además:  

 

                                                                                                                 ´

 

Con lo cual, tendremos:

 

             

                                                                                 Y de esta última relación  extraemos que     0 =   ,

 

 y que por lo tanto:                                                                                            

 

                               De lo que resulta finalmente, que :                    y que:

 

 

 

                                 

                                

                                 U(x,y,z) = 4xyz+6y+ 2zy + cte

 

 

 

 

 

        Ejercicio 1:    Halla la circulación del campo vectorial   

 

                                                                                         

,,,entre los puntos L(1,2,1)    al  M(2,4,7)

 

a)      A través del segmento de recta que une los dos puntos

 

b)      A lo largo del camino  (1,2,1)  è  (2,2,1)  è  (2,4,1)  è  (2,4,7)

 

c)      A lo largo de la curva dada por las ecuaciones paramétricas:

 


                             :: x = t

 

                             ::    

 

                                         

 

 


a)                  x = 1 + t                                            dx =  dt

 

                                    y  = 2 + 2t                                         dy =  2·dt                            è                                                                            

 

                                    z   = 1 + 6t                                         dz  =  6·dt     

 

 

                               è       L(1,2,1)  à t= 0             M(2,4,7)  à  t = 1  è  

 

                                                                                                

 

 

Seguiré después de darle de comer al gato, y pasearme con él y ver la cara que pone la gente al notar que nos llevamos tan bien.Y que nos tenemos tanto respeto y admiración