TEORÍA VECTORIAL DE CAMPOS
CAMPO ESCALAR:
Una función U(x,y,z) que hace
corresponder a cada punto del espacio
un determinado valor, recibe el nombre de función escalar. Llamamos a una tal
distribución de valores en el espacio Campo escalar.
Uniendo los puntos con el mismo valor de la función, es
decir, en los que U(x,y,z) =k (constante), obtenemos una superficie,
llamada superficie de nivel,
ó superficie equipotencial del
campo escalar
CAMPO VECTORIAL:
Una función V(x,y,z) que hace corresponder a cada punto del espacio un vector , recibe el nombre de
función vectorial. Llamamos a una tal distribución de
vectores en el espacio Campo vectorial
P
P P
P
P
CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL:
P
Llamamos circulación de un campo vectorial V(x, y , z), a lo largo de una curva
Y la formulamos en la forma,
C = ,
con V(x. y, z) , campo vectorial / (tal que: )
V(x,y,z) = X(x,y,z)· Y(x,y,z)· + Z(x,y,z)· ,, siendo a su
vez , el elemento
genérico de la curva (x,y,z)
Y que podremos poner como
, y en definitiva la expresión de la
Circulación como:
Y, por lo tanto:
GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR:
Aplicando el operador
,
a la función U(x,y,z), obtenemos obviamente para cada
punto del espacio un vector . A dicho operador le llamamos gradiente, por lo
que el gradiente de una función
escalar, es una función vectorial, que conduce de un Campo escalar, a un Campo
vectorial, es decir
Gradiente de
U(x,y,z) gradU(x,y,z)
A la función escalar U(x,y,z) de
la que deriva, el campo vectorial, le llamamos función
potencial de dicho campo vectorial, y es obvio el camino a recorrer, lo mismo
para obtener el campo vectorial
gradU(x,y,z) , de un campo escalar determinado, como
el contrario, es decir, la función
potencial de un campo
vectorial, cuando dicha función
potencial, existe, que igualmente resulta evidente que en el caso del campo
vectorial gradiente, existe siempre.
Aquellos
campos vectoriales, para los cuales
existe la función potencial, se denominan Campos conservativos, al ser claramente la circulación del campo vectorial, entre
dos puntos cualesquiera, independiente del camino seguido entre ellos, y quedar
tan solo dicha circulación, en función de los puntos inicial y final del
recorrido, y de forma nítida, quedar dicha circulación únicamente igual a la variación escalar de U(x,y,z) entre los tales puntos:
,,,
Campos no
conservativos, serán por lo tanto,
aquellos para los cuales la circulación entre dos puntos, pueda tener distinto
valor según la trayectoria seguida entre ellos, y que por lo tanto “carecen de
función potencial”
Ejercicio a modo didactico: (Para hacer el recorrido en los dos
sentidos) è
a) Hallar el gradiente de la función
U(x,y,z) = 4xyz + 6y+2zy
è =
èi + () j
+ () k
b)
Hallar la función
potencial del campo
vectorial
Obviamente, En función de su origen, nos encontraremos con ,
y por lo tanto
Con
,
:: es decir
Ahora bien, también en función de su origen, tendremos que:
, y esto a su vez igual a
Tendremos, pues:
,
lo que nos conduce al despejar, a
Y como consecuencia de ello a ,
,
nos encontraremos con:
y,por lo tanto lo que era inicialmente,
,, podremos ponerlo hasta aquí:
y además:
´
Con lo cual, tendremos:
Y de esta última relación extraemos que 0 = ,
y que por lo tanto:
De lo que resulta finalmente, que : y que:
U(x,y,z)
= 4xyz+6y+ 2zy + cte
Ejercicio 1: Halla la circulación del campo vectorial
,,,entre los puntos L(1,2,1) al M(2,4,7)
a) A través del segmento de recta que une los dos puntos
b) A lo largo del camino (1,2,1) è (2,2,1) è (2,4,1) è (2,4,7)
c) A lo largo de la curva dada por las ecuaciones paramétricas:
:: x = t
::
a) x = 1 + t dx = dt
y = 2 + 2t dy = 2·dt è
z = 1 + 6t dz = 6·dt
è L(1,2,1) à t= 0 M(2,4,7) à t = 1 è
Seguiré después de darle de comer al
gato, y pasearme con él y ver la cara que pone la gente al notar que nos
llevamos tan bien.Y que nos tenemos tanto respeto y admiración